△ＡＢＣの三辺、またはその延長がそれぞれ頂点を通らない一直線とそれぞれ点Ｐ,Ｑ,Rで交わるとき となる。 ＜証明＞ △ＡＢＣの三辺、またはその延長が直線ＸＹと点Ｐ,Ｑ,Rでそれぞれ交わったとき、 △ＡＢＣの各頂点から直線ＸＹに垂線を引き、交わった点をそ…

二つの実数a,bについて これを＜相加平均＞といい また a＞０ b＞０のとき これを＜相乗平均＞という。 この二つの大小関係は ≧ である。 ＜証明＞ a＞０ b＞０のとき つまり ≧ よって ≧ すなわち ≧ 等号は より したがって のとき成り立つ。

△ＡＢＣの３つの頂点Ａ，Ｂ，Ｃと，辺上や延長線上にない点Ｏとを結ぶ直線が，対辺ＢＣ，ＣＡ，ＡＢまたはその延長と交わるとき，その交点をＰ，Ｑ，Ｒとすると となる。 ＜証明＞ 頂点Ｂ，ＣからＡＰまたはその延長に垂線を下し，交点をＫ，Ｈとすると ＢＨ…

三角形の一つの頂点における内角の二等分線と、他の二つの頂点における外角の二等分線は一点で交わり、その点を傍心という。また、傍心を中心として一辺と他の二辺の延長に接する円が存在し、その円を傍接円という。 ＜証明＞ 辺ＢＣ，辺ＡＢ，ＡＣの延長に…

三角形の３つの内角の二等分線は１点で交わり、その点は３辺から等距離にある。その点を三角形の内心という。また、内心を中心としてその三角形の３辺に接する円を三角形の内接円という。 ＜証明＞ のため よって となる。 つまり点はの二等分線上にある。 …

三角形の三辺の垂直二等分線は１点で交わり、その点は３つの頂点から等距離にある。そしてその点を外心という。また、外心を中心として、三角形の３つの頂点を通る円を外接円という。 ＜証明＞ において辺、の垂直二等分線の交点をとすると、 となるため と…

四角形ＡＢＣＤが円に内接する⇔ また、一般の四角形において ＜証明＞ 四角形ＡＢＣＤの外側に となる点Ｅをとる。 すると、 ・・・① ①から ・・・② また、①から よって そのため つまり ・・・③ ③－②より ・・・④ ３点E,B,Cが一直線上にないとき から、 整…

ただし ＜証明＞ 三平方の定理から また、 のため よって ただし、

＜積→和＞ ー求め方ー の加法定理から ・・・① ・・・② 「①+②」・・・ ・・・③ 「①ー②」・・・ ・・・④ また、の加法定理から ・・・⑤ ・・・⑥ 「⑤+⑥」・・・ ・・・⑦ 「⑤－⑥」・・・ ・・・⑧ ＜和→積＞ ー求め方ー 、とすると 、（・・・⑨）となる。 ⑨を③、…

三角関数の性質に以下のようなものがある。 のとき のとき のとき のとき のとき これらは、覚えにくく、うろ覚えな人も多いはずです。 もし、テスト中に忘れてしまった場合、どうやって再確認するでしょうか。 この性質は基本、単位円を使って考えるますが…

約数の個数と総和 自然数を素因数分解するととなるとき の正の約数の個数は 正の約数の総数はとなる。 ―例ー 「２８」の正の約数は から となる。 よって、は３通り、２通りのため となる。 総和は となる。 じゅず順列 異なるいくつかのものを円形に並べ、…

【１】（≠0）で、 <とするとは、とが異符号「<0」なら <<の範囲に確実に実数解を１つもつ。 【２】 (>)がⅹ軸と共有点をもち、 そのⅹ座標を () またとすると 数との大小関係について次のことが成り立つ。 ①がともにより大きいとき ≧ ・・・x軸との共有点があ…

AからBまでの最短距離を求める場合 （通り）とすぐに出せますが この場合はどうでしょうか このような図形の場合には書き込んで求める方法が有効です。 これを利用して 通りと求められます。

＜中線定理＞ これを応用すると・・・ 辺上にとなる点をとると となる ＜証明＞ とすると余弦定理から より また、のため つまり

円に内接する四角形において とすると四角形ABCDの面積Sは となる。 ＜証明＞ のため よって ・・・① において余弦定理より ・・・② において余弦定理より のため ・・・③ ②③から から とすると より 上記の証明では因数分解が複雑なので、注意が必要です。

からに値が変化するとき、の変化量のの変化量に対する割合・・・① ①を「平均変化率」と言う。 また、とすると、 よって、 また、①において、の値を定め、をに限りなく近づけるとき、①がある一定の値に限りなく近づく場合、この値を関数のにおける「微分係数…

＜加法定理＞ ―証明― ２点間の距離の公式より 線分ABは余弦定理より ・・・① また、線分ABは２点間の距離の公式より ・・・② ①,②から ・・・③ ③を使い、加法定理の他の公式を求めることができます。 より

この前、こんな証明を見ました。 の二等分線を引きBCとの交点をDとすると となる。 ＜証明＞ の余弦定理から ・・・① の余弦定理から ・・・② ②を①に代入すると より 辺の比より これを代入すると

この間青チャートで勉強していたのですが、「第一余弦定理」というものを知りました。「余弦定理」は勿論教科書にも載っていますが、この定理は載っていなかったので、取り上げてみます。余弦定理> ー証明ー 点Aから辺BC上に垂直に交わった点をDとする。 よ…