【数学】微分係数について

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aからbに値が変化するとき、yの変化量のxの変化量に対する割合\frac{f(b)-f(a)}{b-a}・・・①

①を「平均変化率」と言う。

また、b=a+hとすると、(b,f(b))=(a+h,f(a+h))

よって、\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

また、①において、aの値を定め、bをaに限りなく近づけるとき、①がある一定の値\alphaに限りなく近づく場合、この値\alphaを関数f(x)のx=aにおける「微分係数」または「変化率」といい、f'(a)で表す。

この微分係数の定義をlimを用いて表すと

f'(a)=\displaystyle \lim_{b \to a} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}　または　f'(a)=\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

ちなみにlimは極限を表す英語”limit”を略したものである。

 

 ＜例＞

関数f(x)=3x^2

x=2における微分係数

f'(2)=\displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(2+h)-f(2)}{h}

           =\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{3(2+h)^2-12}{h}

           =\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{3h^2+12h}{h}

           =\displaystyle \lim_{h \to 0} 3h+12

           =12