【数学】相加平均と相乗平均の関係

二つの実数a,bについて　\frac{a+b}{2}　これを＜相加平均＞といい

 

また　a＞０　b＞０のとき　\sqrt{ab}　これを＜相乗平均＞という。

 

 この二つの大小関係は

 

\frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}　である。

 

＜証明＞

a＞０　b＞０のとき

 

a+b-2\sqrt{ab} =(a-b)^2

 

つまり　(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≧0

 

よって 　a+b≧2\sqrt{ab}

 

すなわち　\frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}

 

等号は　(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=0　より

 

\sqrt{a}=\sqrt{b}

 

したがって　a=b　のとき成り立つ。