【数学】三角関数　和と積の公式

＜積→和＞

\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}  \{ \sin(\alpha + \beta) +\sin(\alpha - \beta) \}

\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2} \{ \sin(\alpha + \beta) -\sin(\alpha - \beta) \}

\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2} \{ \cos(\alpha + \beta) +\cos(\alpha - \beta) \}

\sin \alpha \sin \beta =- \frac{1}{2} \{ \cos(\alpha + \beta) -\cos(\alpha - \beta) \}

 

ー求め方ー

\sinの加法定理から

\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta ・・・①

\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta・・・②

 

「①+②」・・・

\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2} \{ \sin(\alpha + \beta) +\sin(\alpha - \beta) \} ・・・③

 

「①ー②」・・・

\cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2} \{ \sin(\alpha + \beta) -\sin(\alpha - \beta) \} ・・・④

 

 また、\cosの加法定理から

\cos (\alpha + \beta) =\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta・・・⑤

\cos (\alpha - \beta) =\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta・・・⑥

 

「⑤+⑥」・・・

\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2} \{ \cos(\alpha + \beta) +\cos(\alpha - \beta) \} ・・・⑦

 

「⑤－⑥」・・・

\sin \alpha \sin \beta =- \frac{1}{2} \{ \cos(\alpha + \beta) -\cos(\alpha - \beta) \}・・・⑧

 

＜和→積＞

\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}

\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}

\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

 

 ー求め方ー

(\alpha + \beta)=A、(\alpha - \beta)=Bとすると

\alpha =\frac{A+B}{2}、\beta =\frac{A-B}{2}（・・・⑨）となる。

⑨を③、④、⑦、⑧に代入することで求められる。