【数学】三角形の外心、垂心

　

三角形の三辺の垂直二等分線は１点で交わり、その点は３つの頂点から等距離にある。そしてその点を外心という。また、外心を中心として、三角形の３つの頂点を通る円を外接円という。

＜証明＞

において辺、の垂直二等分線の交点をとすると、

　　となるため　　となる。

よって点は辺の垂直二等分線上にあることが分かる。したがって、三角形の三辺の垂直二等分線は１点で交わり、その点は３つの頂点から等距離にある。

三角形の各頂点から対辺もしくはその延長に下した垂線は１点で交わり、その点を垂心という。

＜証明＞

において各頂点から対辺もしくはその延長に下した垂線をそれぞれ、、とする。

また、各頂点を通り対辺に平行な直線の３つの交点を、、とする。

すると、四角形、はどちらも平行四辺形であるから

　　よって　

//　⊥　により

⊥

つまり、はの辺の垂直二等分線である。

同様には辺の、は辺の垂直二等分線である。

したがって、、はの外心により一点で交わる。

そのため三角形の各頂点から対辺もしくはその延長に下した垂線は１点で交わる。